我系卢海舟教授课题组最近在非线性霍尔效应理论方面取得进展，在美国物理学会《物理评论快报》(Physical Review Letters) 发表文章，第一作者为博士后杜宗正博士，北京大学谢心澄院士是合作者。他们也参与了美国麻省理工学院实验组的最新实验工作，已经在英国《自然》杂志在线刊登。
    具有时间反演的非线性霍尔效应是一个全新的研究方向。本文将介绍什么是非线性霍尔效应以及最新理论进展。

霍尔效应

    我们在高中就学习过霍尔效应。在磁场中，电流I感受到垂直于磁场和运动方向的洛伦兹力，发生偏转，并在两端形成电势差V，这一现象称为霍尔效应 (如图1所示)。

图1 霍尔效应。

    霍尔效应一直是凝聚态物理研究的一个主流方向。迄今为止，已经有4次诺贝尔物理学奖和霍尔效应有关 (图2)，分别是1985年的量子霍尔效应，1998年的分数量子霍尔效应，2016年的拓扑物相和拓扑相变， 2010年诺奖石墨烯的重要实验证据也是半整数量子霍尔效应。

图2  和霍尔效应有关的诺贝尔物理学奖。

几何相位

    霍尔效应最重要的意义在于对其来源的几何理解，对这个理解的推广产生了很多新物理。我们学习量子力学的时候都学过几何相位。几何相位听起来名字很神秘。其实我们参观博物馆的时候经常会见到的傅科摆  (Foucault pendulum) 就是几何相位的例子。傅科摆是依据法国物理学家莱昂•傅科的名字命名的，是证明地球自转的一种简单设备。这个实验的装置包括一个高大的、在任意垂直平面上振荡的单摆  (图 3上）。单摆摆动的方向会因为地球自转而改变 (图3下左)，每天改变的角度只和傅科摆所在的维度θ0有关，大小为 360o (1-θ0)。这个角度可以证明正好等于傅科摆每天随地球自转走过的路径所覆盖的面积除以地球半径的平方。圆球上面积除以半径的平方就是空间角的定义。傅科摆一天变化的角度竟然等于单摆随地球自转所覆盖的空间角，实在是神奇。这是几何相位在经典系统中最直观的例子。

图3 上: 北京天文馆的傅科摆. 下左: 圆环代表傅科摆随着地球自转一圈走过的路径。θ0 是傅科摆所在的维度。圆环所覆盖的面积除以地球半径的平方等于傅科摆每天摆动方向改变的角度。下右: 量子力学经典例题 “电子自旋磁矩在绝热转动的外磁场B中积累的几何相位”

量子几何相位

        1984年的时候英国物理学家Michael Berry 撰写了一篇文章，阐明了量子力学系统中的几何相位问题。他的文章中举了一个例子，电子自旋磁矩在绝热转动的外磁场中积累的几何相位 (图3 下右)。自旋是电子携带的角动量。角动量是描述转动的一个物理量，简单地说，同一个物体旋转的快慢就是用角动量的大小来描述。带电的粒子，比如电子，自转的时候会产生一个磁矩，就像环形电流产生磁场一样。如果再施加一个外磁场，电子的自旋磁矩会沿着磁场的方向极化。电动机就是类似的原理。简单地说，如果外加一个磁场，磁场转动的足够慢，电子的自旋会一直跟着磁场的方向转动，并且会积累一个量子力学“相位”。

    相位是描述波的概念。比如湖面上的水波，我们可以用振动频率，振动幅度，和振动的相位来描述。量子力学主要就是把微观粒子用波来描述。Berry的文章指出，电子的自旋磁矩方向被磁场拉着转一圈以后会多出一个相位，大小为1/2个空间角，和傅科摆类似。特别是，这个相位   可以用一个优美的面积分表达出来 (前方高能, 数学较多)

    其中,   就是转动的磁场在单位圆上划出的面积， 是面积微分元，被积分函数 被称为Berry曲率 (Berry curvature)，其定义为

    其中， 是自旋沿着磁场方向的某个瞬时本征量子态 (根据沿着或者反着磁场方向，称作自旋上或者自旋下)， ，  是关于磁场的三维矢量的微分算符。

霍尔效应的几何来源

    讲了这么多，数学已经看到两眼发黑。这个几何相位和霍尔效应有什么关系呢？因为，当不考虑无序的时候，霍尔电导    的主要贡献可以写成类似的对Berry 曲率的积分

    其中e 是电子电荷， h是普朗克常数，对 N 求和表示有多少能带被电子填充。Thouless等1982年发表文章发现了这件事情 [6]。他们发现，当这个积分包裹整个球面的时候 (利用图3 去想象下)，这个积分  给出的是1/2个圆球的空间角, 也就是 , 这样霍尔电导就量子化为

    其中 被定义为量子电导,  n是个整数，由积分 描述，这个包裹球面的积分实际上是一个拓扑数，称作拓扑陈数，“陈”代表著名数学家陈省(xing三声)身。这是拓扑这门数学和凝聚态物理学的一次优美的合作。

    霍尔效应需要磁场。最近15年，Berry曲率相关的这套数学描述被推广到没有磁场的本征材料体系，导致了量子自旋霍尔效应的发现，三维拓扑绝缘体的发现，量子反常霍尔效应的发现，拓扑半金属的发现，以及整个拓扑物理学的广阔领域。现在拓扑物理学是凝聚态物理的一个主要的方向，研究凝聚态物理或多或少都会涉及到拓扑的问题。这些概念也被推广到光学和原子分子物理。

Berry曲率和弯曲空间

    讲了这么多，以上只是想说明发现Berry曲率 这件事情很重要。带电粒子在处于电磁场中的固体中运动时，Berry曲率描述了动量空间的弯曲。有点类似广义相对论在描述引力场的时候使用时空弯曲的味道 (图)。大概是说固体中的Berry曲率可以弯曲动量空间，所以电子可以走偏了，产生横向的电压和霍尔效应。更重要的是，这种弯曲可以通过很多物理效应被测量，也对发展未来电子器件有指导意义。

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图4: Berry 曲率和广义相对论的时空弯曲的类比。

线性霍尔效应和非线性霍尔效应

    绕了这么大圈，终于快要进入今天这篇文章的主题。目前，我们所知道的霍尔效应都是线性的 (图5)。

图5各种线性霍尔效应. 上：霍尔效应，自旋霍尔效应，反常霍尔效应。中：量子霍尔效应 ，量子自旋霍尔效应 ，量子反常霍尔效应 。下: 三维量子霍尔效应  。

    线性霍尔效应测量方法是，在纵向施加一个电流，横向测量电压，为了滤波去除噪声，实验都会使用锁相放大器 (Lock-in measurements), 意思就是说纵向电流按照一个很慢的频率振荡，比如15赫兹，同时测量横向电压的时候只把15赫兹的信号挑出来，这样无关的噪音就被过滤掉。非线性霍尔效应的一种测量方法是挑选2倍频率测量横向电压，比如30赫兹 (图6)。

图6 非线性霍尔效应的测量。

对称性分析

    什么时候可以测量到非线性霍尔效应呢？我们又需要一点数学和对称性分析了。

    上边我们说过，霍尔效应是Berry曲率的积分。Berry曲率有两个对称性性质。一是在时间反演下变号，二是在空间反演下不变号 。线性霍尔效应是Berry曲率的积分，如果有时间反演，积分的时候正动量和负动量的部分会抵消。所以必须破缺时间反演才能观测到霍尔电导，比如加磁场或者掺杂磁性杂质 (因此非磁性无磁场的自旋霍尔效应很难被观测到)。

    不同于线性霍尔效应，麻省理工学院的Sodemann和付亮 以及Low 发现非线性霍尔效应正比于一个被称作Berry 曲率偶极子的量 (简称Berry dipole)

    它有两种等价的表达方式，一种是在费米面上的群速度乘以Berry曲率 (第一个等号)，另外一种是对费米面下所有Berry曲率的一阶导数求和 (第二个等号)。第二个等号告诉我们，非线性霍尔效应是Berry曲率的高阶效应，所以是新物理，非常非常重要。

    第一个等号可以帮我们分析什么时候可以观测到非线性霍尔效应 (图7)。

    首先，在时间反演下，速度和Berry曲率都反号，因此速度和Berry曲率的乘积不反号，这样我们在有时间反演的时候可以也有可能观测到非线性霍尔效应，这和线性霍尔效应需要破缺时间反演很不同。

    其次，在空间反演下，速度反号，Berry曲率不反号，这样速度和Berry曲率的乘积反号，积分的时候正动量和负动量的部分会抵消。如果想观察到非线性霍尔效应，必须破缺空间反演。

图7 对称性分析. 非线性霍尔效应在时间反演破缺时也可能存在. 非线性霍尔效应需要破缺空间反演.

实验进展

    总结一下，线性霍尔效应需要破缺时间反演才能观测到；非线性霍尔效应需要破缺空间反演才能被观察到。

    最近有多个实验小组报道了具有时间反演的非线性霍尔效应的观测结果，包括MIT的 Pablo组和Gedik组的双层WTe2实验 (并列一作为马琼，徐苏扬，沈汇涛) ，Cornell 的Mak & Shan实验组的多层WTe2实验 等。

    明星材料WTe2

    等一下，又是WTe2？最近这个材料是挺火的，其三维块材是第二类的Weyl 半金属 , 单层可能会有高温的量子自旋霍尔效应 或者超导 , 多层的时候有铁电性  .

非线性霍尔效应的理论进展

    南方科技大学卢海舟课题组和北京大学谢心澄教授也发表了相关理论 Physical Review Letters 121, 266601  (2018) [1]。这篇文章中他们回答了一个实验关心的问题，什么样的能带特征可以对应强非线性霍尔信号？他们发现可以用二维狄拉克模型描述的倾斜的能带反交叉点或者拓扑反带的位置都会带来比较强的非线性霍尔信号。此外，他们的理论还和Cornell的实验的角度依赖关系进行了对比。

无序贡献的非线性霍尔效应

    这种新奇的非线性霍尔效应的研究才刚刚开始。实验和理论研究证明无序是反常霍尔效应主要来源 。非线性霍尔效应从第一阶就强烈依赖无序，高阶效应更是Berry曲率和无序错综复杂作用的结果，无序对非线性霍尔效应的贡献将是一个重要的题目。

    论文链接：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.121.266601